Les forces en présence
1. Force d’inertie
C’est principalement à cause de la force d’inertie que les immeubles et les infrastructures sont endommagés pendant un tremblement de terre.
Ainsi, lorsque la base du bâtiment (ancrée dans le sol) subit les secousses sismiques, le haut du bâtiment ne suit pas le mouvement du sol et tend à rester immobile, ce qui entraîne une déformation du bâtiment pouvant conduire à son effondrement.
Pendant un tremblement de terre, un bâtiment est soumis aux accélérations désordonnées du sol dans toutes les directions. Or, il tend à rester là où il se trouve avant chaque mouvement du sol. Les forces qui le retiennent à sa position d’origine s’appellent les forces d’inertie; elles sont d’autant plus importantes que les masses et les accélérations sont élevées.
Pour comprendre ce qui se passe, on peut imaginer que l’on place l’immeuble sur un camion dont le chauffeur accélère brièvement en marche arrière, freine, accélère en marche avant, freine, et ainsi de suite, les déplacements ne dépassant pas 20 à 30 cm.
Les forces d’inertie, lors d’un séisme, s’exercent sur les bâtiments de la manière suivante :
• Mouvements horizontaux
• Mouvements verticaux​
• Mouvements de torsion
Elles sont opposées aux mouvements du sol.
La force d’inertie agissant sur un corps est égale au produit de sa masse par son accélération :
Fi = m.a (2ème loi de Newton).
Fi correspond aux forces d’inertie.
Fr correspond aux forces de rappel, c’est-à -dire aux forces qui permettent à la structure de retourner dans sa position initiale après l’arrêt des sollicitations externes, et dépend de la raideur :
Fr = k.x
La raideur d’un bâtiment ou des sections composant un bâtiment dépend de 4 paramètres :
• La longueur
• L’aire et la forme de la structure
• Les matériaux utilisés
• La nature des liaisons
Fd correspond aux forces dissipées en raison du frottement.
Si l’équilibre n’est pas assuré, il y a rupture.
Cette relation d’équilibre des forces se vérifie à tout instant dans toutes les directions, les forces Fi, Fr et Fd variant pendant les oscillations entre un minimum et un maximum.
Lorsque le bâtiment repasse par la position initiale, les forces Fi, Fr et Fd sont nulles.
3. Les oscillations
On peut faire une analogie entre les mouvements d’un immeuble pendant un séisme et ceux d’un pendule inversé composé d’une boule de masse M sur une tige souple fixée au sol. Il s’agit d’un oscillateur libre.
Si on écarte la boule de sa position d’équilibre, la tige est fléchie et cette flexion génère une force de rappel (Fr) qui est proportionnelle à la rigidité (K) de la tige et à la distance d’écart par rapport à la verticale (x).
La période propre Tp du pendule inversé est donnée par la formule suivante :
K étant la raideur et M la masse
Soumettons maintenant le pendule à une force de nature périodique. On parle alors d’oscillation forcée.
Le pendule va se mettre à osciller avec une période identique à celle de la force qu’on lui a appliquée et avec une amplitude d'autant plus grande que la période de la force est proche de la période propre du pendule (si les deux périodes sont égales, le pendule va rentrer en résonance).
C’est exactement ce qui se passe lors d’un tremblement de terre. Le bâtiment est soumis à une oscillation forcée (onde sismique), avant de revenir à une oscillation libre un fois que les secousses se sont arrêtées.
Un immeuble de plusieurs étages doit plutôt être considéré comme un oscillateur multiple.
Chaque étage de l’immeuble va avoir une période propre dépendant de sa raideur et de sa masse.
On peut modéliser un immeuble à trois étages comme un pendule inversé à trois masses.
Le schéma ci-dessous représente un immeuble dont les trois étages oscilleraient ensemble dans la même direction.
En fait, dans la réalité, il est probable que les masses ne se déplacent pas ensemble, comme illustré dans le schéma ci-dessous :
2. Equilibre des forces en présence
Le schéma ci-dessous décrit l’équilibre dynamique de la structure lors d’une oscillation horizontale, soit Fi = Fr + Fd.
